ビジネス用語で、アサインする、とはなんですか。

役職を任命する、仕事を割り当てる、仕事の担当になってもらう、担当者を決める、 プロジェクトの担当になってもらう、プロジェクトに加わってもらう、という感じでしょうか。

コンサルトがで、アサインがない期間、とは、プロジェクトとプロジェクトの間の期間ということで、休暇や自己研鑽、次のプロジェクトの準備期間、ということもあるでしょうし、その期間、誰からも仕事を頼まれていないので、空いている、アサイン可能という意味でも使われるかなと思います。